Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel είναι δύο θεμελιώδη αποτελέσματα της μαθηματικής λογικής που καταδεικνύουν τους εγγενείς περιορισμούς κάθε τυπικού συστήματος μαθηματικών ή λογικής. Αποδείχθηκαν από τον αυστριακό μαθηματικό Kurt Gödel το 1931 και είχαν βαθύ αντίκτυπο στα θεμέλια των μαθηματικών και στη φιλοσοφία των μαθηματικών.
Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας δηλώνει ότι κάθε τυπικό σύστημα που είναι αρκετά ισχυρό για να περιγράψει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (όπως το σύστημα της λογικής πρώτης τάξης) πρέπει να είναι είτε ασυνεπές είτε μη πλήρες. Αυτό σημαίνει ότι είτε το σύστημα περιέχει δηλώσεις που μπορούν να είναι τόσο αληθείς όσο και ψευδείς (ασυνεπές), είτε θα υπάρχουν δηλώσεις που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να διαψευστούν μέσα στο σύστημα (μη πλήρες). Με άλλα λόγια, θα υπάρχουν πάντα κάποιες αληθείς δηλώσεις για τους φυσικούς αριθμούς που δεν μπορούν να προκύψουν από τα αξιώματα του συστήματος.
Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας δηλώνει ότι αν ένα τυπικό σύστημα είναι συνεπές, τότε δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του. Αυτό σημαίνει ότι αν ένα σύστημα είναι συνεπές, δεν μπορεί να αποδείξει ότι δεν περιέχει αντιφάσεις ή ασυνέπειες.
Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel έχουν σημαντικές επιπτώσεις στα θεμέλια των μαθηματικών και στην ιδέα της τυποποίησης όλων των μαθηματικών αληθειών. Δείχνουν ότι οποιοδήποτε τυπικό σύστημα που είναι αρκετά ισχυρό για να περιγράψει τους φυσικούς αριθμούς θα έχει αναγκαστικά περιορισμούς και δεν μπορεί να είναι τόσο συνεπές όσο και πλήρες. Τα θεωρήματα αυτά έχουν επίσης ερμηνευτεί ως απόδειξη ότι ο ανθρώπινος νους είναι ικανός να αντιληφθεί αλήθειες που δεν μπορούν να αποτυπωθούν πλήρως από οποιοδήποτε τυπικό σύστημα μαθηματικών ή λογικής.
Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ ισχύει για κάθε τυπικό σύστημα μαθηματικών ή λογικής που είναι αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράφει την αριθμητική των φυσικών αριθμών. Αυτό περιλαμβάνει τα περισσότερα, αν όχι όλα, τα τυπικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά και τη λογική. Ως αποτέλεσμα, είναι γενικά αποδεκτό ότι τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel ισχύουν για οποιοδήποτε τέτοιο σύστημα.
Ωστόσο, είναι δυνατόν να κατασκευαστούν τυπικά συστήματα που δεν είναι αρκετά ισχυρά για να περιγράψουν την αριθμητική των φυσικών αριθμών και συνεπώς δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των θεωρημάτων μη πληρότητας του Gödel. Αυτά τα συστήματα μπορεί να είναι σε θέση να αποφύγουν τους περιορισμούς των θεωρημάτων του Gödel, αλλά θα είναι επίσης περιορισμένα στην εκφραστική τους δύναμη και μπορεί να μην είναι σε θέση να αναπαραστήσουν πολλές από τις μαθηματικές έννοιες και αλήθειες που συνήθως μελετώνται στα μαθηματικά.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel δεν εφαρμόζονται σε άτυπα συστήματα μαθηματικών ή λογικής, όπως αυτά που χρησιμοποιούνται στην καθημερινή μαθηματική συλλογιστική και επικοινωνία. Τα συστήματα αυτά δεν δεσμεύονται από τους ίδιους περιορισμούς με τα τυπικά συστήματα και μπορεί να είναι σε θέση να αναπαραστήσουν ορισμένες αλήθειες και έννοιες που δεν μπορούν να αποτυπωθούν σε ένα τυπικό σύστημα. Ωστόσο, τα άτυπα συστήματα στερούνται επίσης της αυστηρότητας και της ακρίβειας των τυπικών συστημάτων και ενδέχεται να μην είναι κατάλληλα για ορισμένους τύπους μαθηματικών και λογικών συλλογισμών.
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε ένα πολύ ενδιαφέρον βίντεο για το συγκεκριμένο θέμα:
0 σχόλια